Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, (sembol: ∞) çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.
Matematikte “sonsuz” sıklıkla bir sayıymış gibi ele alınır (ör. Sonsuz sayıda terim vb.) ama aslında gerçek sayılar türünde bir sayı değildir. Sonsuz küçük değerlerini içeren sayı sistemlerinde bu son küçüklerin karşıtı bir sonsuz sayıdır. 19. yüzyıl ve 20. yüzyılın başlarında Georg Cantor sonsuz ve sonsuz kümeler ile ilgili birçok fikre şekil verdi. Geliştirdiği kuramda farklı boyutlarda sonsuz kümeler yer almaktadır. Örneğin, tamsayıların oluştuğu küme sayılabilir sonsuzken gerçek sayıların oluşturduğu sonsuz küme ise sayılamaz sonsuzdur.
Sonsuzluk tam olarak nedir?
Sonsuzluğun kendi içinde tam bir tanımının yapılamayacağı ortadadır. Zaten tanımlamaya çalışırsak yapacağımız şey sadece onu sınırlamak olurdu, bu da sonsuzluğun anlamıyla ters düşmek demektir. Sonsuz her şeyi kucaklayan tanımlayamadığımız matematik, felsefe gibi alanlarda karşımıza çıkan günlük konuşmalarımızda da sıkça kullandığımız hepimizin bildiği bir kavram.
Sonsuzluk kelimesinin birçok insan için farklı farklı tanımı olabilir. Özellikle limit konusunda n sonsuza giderken ifadesini kullandıktan sonra sonsuzu bir yer ismi gibi (mesela Bursa) algılandı. Fakat sonsuzluk hiç de öyle basit bir konu olmadı. Olmayacak … Sonsuz hiçbir zaman bitmeyen bir şeydir. Peki şey ne? Okurun sıfat gibi bir kelime algılamasını istiyoruz. Bir kavanozun içindeki kum tanelerine bakın. 1.000.000.000.000 belki de daha fazla. İşte sonsuzun ne demek olduğunu bilmiyoruz fakat fiziksel olarak hissetmek istiyoruz. Hemen bir ayna alalım. Kendi arkamıza da başka bir ayna koyalım. Bu ayna da oluşan görüntü bize sonsuzluğun ne anlam ifade ettiğini biraz hissettirir. Tabiki ister istemez sonsuz kelimesini duyan her insan “çok büyük” anlamına gelen bir kelime olarak yorumlarlar. Fakat bazen bu çok çok çok küçük hatta tanımlayamayacağımız kadar küçüktür. AB doğru parçasındaki A ile B arasındaki nokta sayısı mesela.
Bunu kanıtlamak için iki noktanın arasında başka bir noktanın bulunduğunu kullanacağız. Bu noktaya C noktası diyelim. Şimdi hem AC hem de CB arasında başka noktalar var mıdır? Eveeet. Aynı işlemi yaparsanız sonsuza dek sürdüğünü göreceksiniz. AB noktası arasında sonsuz nokta vardır.
Paradoks: Nokta boyutu olmayan bir izdir. Ya da kalemin kağıda bıraktığı izdir. ( Ne demek ise ) Doğru ise boyutu olan bir geometrik şekildir. Peki boyutu olmayan şeyleri yan yana koyarsak nasıl boyut oluştur?
Sonsuzluk ile ilgilenen birçok matematikçi olmuştur. Fakat öyle bir isim vardır ki resmen tehlikeli sularda sırt üstü yüzmüştür. Kümeler Kuramının baş mimarı George Cantor. Belki de Sezgisel olarak küme tanımlarını yapan, sonsuzluk kavramına yeniden ayar çeken insan… Zaten bu kadar derin konular ile ilgilenmesi onu depresyon denilen illet ile boğuşmasına neden olmuştur. Defalarca hastanede yatmıştır. Bunun olayın sadece matematiksel çalışmalarının sonucunda oluşmadığını biliyoruz. ( Çeşitli nedenleri de vardır.) Fakat Georg Cantor bize kümeler kuramı gibi büyük bir alanı açarak çalışma imkanı sunmuştur ve matematik dünyasına adını kazıtmıştır.
George Cantor demişken biraz da ondan bahsedelim.
Cantor, sonsuzların karşılaştırılmasıyla ilgili deprem yaratan ispatını yaptığında, dostu Dedekind’e tam olarak böyle yazmıştı;
“Görüyorum ama inanamıyorum!”
Dünyanın geri kalanını inandırması daha da güç olacaktı. Zira Cantor gerçekten de tehlikeli bir gerçekle uğraşıyordu. Sonsuzlukla!
Peki bu noktaya nasıl gelmişti?
1845 yılında St. Petersburg’da doğan bu mütevazı adam Zürih Politekniğini iyi bir dereceyle bitirdi ve ardından dönemin en saygın matematikçilerinin çalıştığı Berlin Üniversitesi’nde Matematik öğrenimini yine dereceyle tamamladı.
Üzerinde Gauss ’un da çalışma yapıp yarım bıraktığı bir trigonometrik dizi açılımının ispatını başarıyla yaparak matematik dünyasında adını duyurdu.
1871 ve 1872 yıllarında Sayı teorisiyle ilgili iki makalesi daha en saygın matematik dergilerinden Crelle’s Journal’de yayımlandı.
Her şey yolunda gidiyordu. Ve artık zamanı gelmişti…
Çocukluğundan beri ruhunu kemiren sonsuzluk mefhumunu masaya yatıracak ve onu ayakları üzerine oturtacaktı.
Yaptığı iş hiç şüphesiz bu kavramı ayakları üzerine oturtmak olacaktı, nitekim içinde yaşadığımız sonsuz zaman boşluğunda sonsuzluk kavramını ilk keşfeden kişinin Cantor olduğunu söylemek mümkün değildir. Hatta denilebilir ki matematikle biraz olsun derinlemesine ilgilenen herkes bu kavramı sezinlemiştir.
Zenon, ünlü Akhilleus paradoksu ile bize bu sonsuzluğun kapılarını açmıştı.
Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu
Akhilleus ile kaplumbağa bir gün yarışmaya karar verirler. Akhilleus Yunan mitolojisinin en büyük kahramanlarından biridir. Babası yarı insan yarı tanrı Teselya kralı Peleus, annesi ise Thetis adlı bir deniz tanrıçasıdır. (Homeros’un Troya savaşını anlattığı İlyada’da önemli rolleri vardır.) Akhilleus henüz bir çocukken bile bir ceylanı yakalayabilecek kadar hızlı, bir aslanı öldürebilecek kadar güçlüdür. Zenon, kaplumbağaya olabildiğince uzak bir örnek seçmek istemiş olmalı ki kendisinden bir asır önce yaşamış olan Antik Yunan masalcısı Ezop’un kaplumbağa ve tavşan fablındaki tavşanın rolünü paradoksunda hızlı Akhilleus’a vermiştir.
Akhilleus kaplumbağadan çok daha hızlı koşacağını düşündüğü için kaplumbağaya avans verir. Yarış başlar:
Zenon der ki, “Akhilleus kaplumbağanın başlama noktasına vardığında, kaplumbağa önde başlamış olduğu için bir miktar daha yol almış olacaktır. Akhilleus kaplumbağanın aldığı yolu tamamlamak için her zaman bu yolun önce yarısını koşmak zorunda değil midir? Ve her yarı yolu tamamladığında, kaplumbağa daha da ilerlemiş olacağından bu sonsuza kadar devam eder ve Akhilleus asla kaplumbağaya yetişemez.”
Kuşkusuz Zenon da hepimiz gibi Akhilleus’un kaplumbağaya yetişeceğini biliyordu, onun burada anlatmak istediği Akhilleus’un kaplumbağaya hiçbir zaman yetişemeyeceğini kanıtlamak değildir. Burada asıl mesele yanlış bir sonuca götüren kusursuz mantıksal akıl yürütmenin varlığıdır.
“Akhilleus asla kaplumbağayı geçemeyecektir” ifadesi elbette yanlıştır. Her aşamada mesafeler gittikçe azalırken zaman dilimleri de gittikçe azalır. Sonsuz aşamalı bir işlemin sonsuz zaman sürmesi gerekmez. Aslına bakarsanız, tüm aşamaların sürelerini topladığımızda sonlu bir süre ortaya çıkar: Akhilleus’un kaplumbağayı yakalayacağı ana kadar geçen süre. Sonsuz sayının toplamının da mutlaka sonsuz olması gerekmez. Çoğu insan bunu bilmediğinden, hikaye kafa karıştırıcıdır. Kulağa garip gelse de sonsuz aşamalı bir işlem sonlu sürede bitebilir; bu nedenle kaplumbağa kolaylıkla geçilir. Sorunun çözümünü anlayabilmek için matematikçilerin geometrik seri dedikleri kavramı bilmemiz gerekir:
1+1/2+1/4+1/6+1/8+1/16….
Her biri bir öncekinin yarısı olan sayıları topladığımızda sayı giderek 2’ye yaklaşır. Sonsuza doğru gittikçe azalan uzunlukları topladığımızda sonucun sonsuz olması gerekmez, çünkü toplanan uzunluklar kısalmaktadır. Bunu paradoksa uyarladığımızda herhangi bir aşamada Akhilleus ve kaplumbağanın bulundukları noktaları değil, aralarındaki sürekli azalan mesafeyi göz önünde bulundurmamız gerekir. Her ikisi de sabit hızla ilerlediklerine göre aralarındaki mesafede belli bir hızla azalmak zorundadır. İşte bu sebeple Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu artık bir paradoks değil, bir mantık hatasıdır.
Yunan matematikçilerinin en büyüğü Arşimet geometrik bir yaklaşımla sonsuzluğu sezinleyenlerdendi, tüketme ilkesiyle bir çemberin içine bir kare çizmiş sonra bunu ikiye katlayarak bir sekizgen elde etmiş sonra bu katlama işini tekrar tekrar devam ettirmişti, bu tekrarların neticesinde tüm köşelerin belirginsizleşip çemberi oluşturacağını düşünüyordu.
Sonra çemberin dışına bir kare çizmiş ve bu kareyi de tekrar tekrar ikiye katladığında aynı çemberi dışarıdan elde etmesi gerektiğini fark etmişti.
Ama olmuyordu. Katlamalar çembere hem içeriden hem dışarıdan çok yaklaşıyor fakat asla ulaşamıyordu. Arşimet bu tekrar tekrar katlama işini sonsuz kez yapmamız gerekir diye düşündü ama bunun bile çemberi oluşturabileceğine inancını kaybetmişti.
“Evet sonsuzluk var. Ama bu bizim zihnimizin ulaşabileceği sınırlarda değil.”
Bilim ve tehlike kelimeleri söylendiğinde akla ilk gelen bilim insanı şüphesiz Galileo’dur. Ve o da sonsuzluk kavramına uzak kalabilmiş değildir. “Yeni Bilim” adlı kitabında her tam sayının bir tam karesi olduğuna ve her tam karenin neticede bir tam sayının karesi olduğuna işaret etmiştir.
Yani bir bakıma ne kadar tam sayı varsa o kadar tam kare sayı vardı. Bunu açıklamak o günün matematiğinde gerçekten çok zordu ve Galileo tam bu noktada durdu:
“Elbette böyle bir şey mümkün değil.”
Dünyanın yuvarlak olması fikri de yeterince tehlikeliyken sonsuzluk kavramının peşine düşmek belki de zamansız olacaktı.
Büyük Matematikçi Gauss bile “gerçek sonsuzluk” fikrini matematiğe bütünüyle katma fikrinin kendisini dehşete düşürdüğünü söylüyordu.
Sonsuzluk Cantor’a kadar olan matematikçiler için varlığı açıkça sezilen ama uğraşılması, en azından matematiğin içine yerleştirilmesi pek de mümkün olmayan bir yerdeydi. Sonsuzluk bize en uzak yıldızın uzaklığındaydı, bilinmezliğin sınırında yaşıyordu.
Evet bilinmezlik.
Belki sonsuzluk için yapılan en güzel tanımlardan biri buydu:
“Üçe kadar sayabilen toplumlar için dört sonsuzdur.”
Sonsuzluk böyle tanımlanabilir ve ona bilinmezlik denilip uzakta tutulabilirdi. Cantor gelene kadar…
Cantor, sonsuzu en uzak yıldızdan alıp kapımızın önüne getirdi.
Bunu matematikçiler sonsuzluğu çırılçıplak görmeye hazır değilken yaptı!
https://tr.wikipedia.org/wiki/Sonsuz Makers of Mathematics – Stuart Hollingdale
https://onedio.com/haber/hepimizin-bildigi-ama-tanimlayamadigi-kavram-uzerine-biraz-konusalim-nedir-bu-sonsuzluk-789647